Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah 8, suku keempat adalah 14, dan suku terakhir 23. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah…
- 56
- 77
- 98
- 105
- 112
(UNBK MTK IPA 2016)
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmetika yaitu \( U_n = a+(n-1)b \) sehingga untuk \( U_2 = 8 \) dan \( U_4 = 14 \), diperoleh:
\begin{aligned} U_n &= a+(n-1)b \\[8pt] U_2 &= 8 \Leftrightarrow a+b = 8 \qquad \cdots(1) \\[8pt] U_4 &= 14 \Leftrightarrow a+3b = 14 \qquad \cdots(2)\end{aligned}
Dengan melakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2), diperoleh:
\begin{aligned} \frac{ \begin{aligned} a+b &= 8 \\[5pt] a+3b &= 14 \\[5pt] \end{aligned} }{ \begin{aligned} \\[-10pt] -2b &= -6 \\[5pt] b &= \frac{-6}{-2} = 3 \end{aligned} } \ - \\[8pt] a = 8-b=5 \end{aligned}
Selanjutnya, kita akan cari banyaknya suku barisan aritmetika tersebut, yaitu:
\begin{aligned} U_n &= a+(n-1)b \\[8pt] 23 &= 5+(n-1)(3) \\[8pt] 23 &= 5+3n-3 \\[8pt] 23 &= 3n+2 \\[8pt] n &= \frac{23-2}{3} = 7 \end{aligned}
Dengan demikian, jumlah semua suku barisan tersebut, yaitu:
\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(a+Un) \\[8pt] S_7 &= \frac{7}{2}(5+23) = \frac{7}{2}(28) \\[8pt] &= 98 \end{aligned}
Jawaban C.